Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在常數(shù)M＞0，使得|f（x）|≤M|x|對一切的實數(shù)x都成立，則稱f（x）為“倍約束函數(shù)”．現(xiàn)給出下列函數(shù)： ①f（x）=2x，
②f（x）=x2+1，
③f（x）=sinx+cosx，
④f（x）= ，
⑤f（x）是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)，且對一切的x1 ， x2均有|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|．
其中是“倍約束函數(shù)”的有（ ）
A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵對任意x∈R，存在正數(shù)M，都有|f（x）|≤M|x|成立 ∴對任意x∈R，存在正數(shù)K，都有 M≥ 成立
∴對于①f（x）=2x，易知存在M=2符合題意；
對于②， = =|x|+ ≥2，故不存在滿足條件的M值，故②錯誤；
對于③，f（x）=sinx+cosx，由于x=0時，|f（x）|≤M|x|不成立，故③錯誤；
對于④ ， = ≤ 恒成立，故④正確；
對于⑤，當x1=x，x2=0時，由|f（x1）﹣f（x2）|≤2|x1﹣x2|得到|f（x）|≤2|x|成立，這樣的M存在，故⑤正確；
故是“倍約束函數(shù)”的函數(shù)有3個
故選C．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用函數(shù)的定義域及其求法和函數(shù)的值域的相關(guān)知識可以得到問題的答案，需要掌握求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：①是整式時，定義域是全體實數(shù);②是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實數(shù);③是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負值時的實數(shù)的集合;④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1,零（負）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零；求函數(shù)值域的方法和求函數(shù)最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小（大）值．因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的．