Question

【題目】設(shè)橢圓，直線經(jīng)過點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)，直線直線，且直線分別與橢圓相交于兩點(diǎn)和兩點(diǎn).

(Ⅰ)若分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，且直線軸，求四邊形的面積;

(Ⅱ)若直線的斜率存在且不為0，四邊形為平行四邊形，求證:;

(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，判斷四邊形能否為矩形，說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)證明見解析；(Ⅲ)不能，證明見解析

【解析】

(Ⅰ)計(jì)算得到故，，，，計(jì)算得到面積.

(Ⅱ) 設(shè)為，聯(lián)立方程得到，計(jì)算，同理，根據(jù)得到，得到證明.

(Ⅲ) 設(shè)中點(diǎn)為，根據(jù)點(diǎn)差法得到，同理，故，得到結(jié)論.

(Ⅰ)，，故，，，.

故四邊形的面積為.

(Ⅱ)設(shè)為，則，故，

設(shè)，，故，

，

同理可得，

，故，

即，，故.

(Ⅲ)設(shè)中點(diǎn)為，則，，

相減得到，即，

同理可得：的中點(diǎn)，滿足，

故，故四邊形不能為矩形.