Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面，，點分別為的中點.

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求平面與平面所成二面角（銳角）的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）以為原點,所在直線分別為軸、軸、軸,再證明即可.

（Ⅱ）同（Ⅰ）,證明與平面的法向量垂直即可.

（Ⅲ）分別計算平面與平面的法向量再求解二面角的夾角余弦值即可.

解：（Ⅰ）因為平面,所以,,且底面為正方形,

所以.以為原點,所在直線分別為軸、軸、軸,建立如圖所示空間直角坐標系,設,則,,,,,.

,,

.

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知,,,.

且,

所以平面.

所以是平面的法向量.

因為,

且平面,

所以∥平面.

（Ⅲ）設平面的法向量為,則

即

令,則,.

于是.

平面的法向量為.

設平面與平面所成二面角（銳角）為,

則.

所以平面與平面所成二面角（銳角）的余弦值為.