Question

已知點P是曲線y=lnx上的一個動點，則點P到直線l：y=x+2的距離的最小值為（　　）

• A、

  2

• B、2
• C、

  3 2

  2

• D、2

  2

Answer 1

分析：當曲線上過點P的切線和直線y=x+2平行時，點P到直線y=x+2的距離最小，求出曲線對應的函數的導數，令導數值等于1，可得切點的坐標，此切點到直線y=x+2的距離即為所求．

解答：解：當過點P的切線和直線y=x+2平行時，點P到直線y=x+2的距離最小．
由題意可得，y′=

1

x

，令

1

x

=1，
∴x=1，
∴曲線y=lnx上和直線y=x+2平行的切線經過的切點坐標（1，0），
點（1，0）到直線y=x+2的距離d=

|1-0+2|

1+(-1)2

=

3 2

2

，
∴點P到直線y=x+2的最小距離為

3 2

2

，
故選：C．

點評：本題考查點到直線的距離公式的應用，函數的導數的求法及導數的意義，體現了轉化的數學思想，同時考查了分析問題的能力，屬于中檔題．