Question

【題目】已知橢圓 =1（a＞b＞0）的焦點是F1、F2 ， 且|F1F2|=2，離心率為 ． （Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過橢圓右焦點F2的直線l交橢圓于A，B兩點，求|AF2||F2B|的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）因為橢圓的標準方程為 ， 由題意知 解得 ．
所以橢圓的標準方程為 ．
（Ⅱ）因為F2（1，0），當直線 的斜率不存在時， ， ，
則 ，不符合題意．
當直線y=k（x﹣1）的斜率存在時，直線y=k（x﹣1）的方程可設為y=k（x﹣1）．
由 消（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0（*）．
設 ， ，則 、 是方程（*）的兩個根，
所以 ， ．
所以 ，
所以
所以 = =

當k2=0時，|AF2||F2B|取最大值為3，
所以|AF2||F2B|的取值范圍 ．
又當k不存在，即AB⊥x軸時，|AF2||F2B|取值為 ．
所以|AF2||F2B|的取值范圍
【解析】（Ⅰ）利用|F1F2|=2，離心率為 ，建立方程組，求出a，b，即可求橢圓C的方程；（Ⅱ）分類討論，設出方程，與橢圓方程聯立，結合韋達定理，求|AF2||F2B|的取值范圍．