Question

【題目】如圖，在四棱錐中， ， ， ， 平面.

（1）求證： 平面；

（2）若為線段的中點，且過三點的平面與線段交于點，確定點的位置，說明理由；并求三棱錐的高.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）

【解析】試題分析：（1）先分別利用勾股定理和線面垂直的性質得到線線垂直，再利用線面垂直的判定定理進行證明；（2）利用三角形的中位線證明線線平行，進而通過四點共面確定點的位置，再利用等體積法進行求解.

試題解析：（1）連接，在直角梯形中， ，

，所以，即.

又平面，∴，又，故平面.

（2）為的中點，

因為為的中點， 為的中點，所以，且.

又∵，∴，所以四點共面，

所以點為過三點的平面與線段的交點.

因為平面， 為的中點，所以到平面的距離.

又，所以.

由題意可知，在直角三角形中， ， ，

在直角三角形中， ， ，所以.

設三棱錐的高為， ，解得： ，

故三棱錐的高為.