Question

【題目】如圖所示，已知三棱柱中， ， ， ．

（1）求證： ；

（2）若， ，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）.

【解析】試題分析: （1）證明線面垂直，一般利用線面垂直判定定理，即從線線垂直出發給予證明，而線線垂直的尋找與論證往往需要結合平幾知識，如利用等腰三角形性質得底邊上中線垂直底面得線線垂直，（2）一般利用空間向量數量積求二面角大小，先根據條件確定恰當空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組求各面法向量，利用向量數量積求法向量夾角余弦值，最后根據法向量夾角與二面角關系確定二面角的余弦值.

試題解析:（1）∵四邊形為平行四邊形，且， ，

∴為等邊三角形，

取中點，連接， ，則，

∵，∴，

∵， 平面， 平面，

∴平面，∴．

（2）∵為等邊三角形， ，∴，

∵在中， ， ， 為中點，

∴，

∵， ，∴，

∴，

又，

∴平面．

以為原點， ， ， 方向為， ， 軸的正向，建立如圖所示的坐標系， ， ， ， ，

則，則， ， ，

則平面的一個法向量，

設為平面的法向量，則令，∴，

∴，

∴．

點睛:垂直、平行關系證明中應用轉化與化歸思想的常見類型.

(1)證明線面、面面平行，需轉化為證明線線平行.

(2)證明線面垂直，需轉化為證明線線垂直.

(3)證明線線垂直，需轉化為證明線面垂直.