Question

已知數列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=

1

2

，且a_n+2=

an+12

an+an+1

(n∈N*)．
（I）求證：數列{

an

an+1

}為等差數列；
（II）求數列{a_n}的通項公式；
（III）求下表中前n行所有數的和S_n．

Answer 1

分析：（1）把所給的遞推式整理，構造要求的數列形式，仿寫一個遞推式，用數列的后一項去減前一項，合并同類項，發現滿足等差中項公式，得到結論．
（2）寫出（1）中的數列通項，用疊乘的方法把其他項都約去，得到第n項和第一項，因第一項可求出結果，所以得到通項公式．
（3）根據表中構造的新數列，由它的特點寫出第n行的各數之和，代入所求數列的通項，整理出組合數形式，用二項式定理的各項系數之間的關系，得到第n行的各數之和，于是構造一個新數列用等比數列前n項和公式求解．

解答：解：（I）∵

an+1

an+2

-

an

an+1

=

an+an+1

an+1

-

an-1+an

an

=

an

an+1

-

an-1

an

，
∴2

an

an+1

=

an+1

an+2

+

an-1

an

，
∴數列滿足等差中項公式為等差數列．

（II）由（I）得

an

an+1

=

a1

a2

+(n-1)•1=n+1
故當n≥2時，

a1

an

=

a1

a2

•

a2

a3

••

an-1

an

=2×3××n=n!
即an=

1

n!

又當n=1時，滿足上式
所以通項公式為an=

1

n!

(n∈N*)．

（III）∵

akan-k+1

an+1

=

(n+1)!

k!(n-k+1)!

=

C

k n+1

(k=1，2，n)
∴第n行各數之和

a1an

an+1

+

a2an-1

an+1

++

ana1

an+1

=

C

1 n+1

+

C

2 n+1

++

C

n n+1

=2n+1-2(n=1，2，)
∴表中前n行所有數的和
S_n=（2²-2）+（2³-2）++（2ⁿ⁺¹-2）
=（2²+2³++2ⁿ⁺¹）-2n
=

22(1-2n)

1-2

-2n
=2ⁿ⁺²-2n-4

點評：有關數列的試題經常是綜合題，經常把數列知識和指數函數、對數函數和不等式的知識綜合起來，試題也常把等差數列、等比數列，求極限和數學歸納法綜合在一起．探索性問題是高考的熱點，常在數列解答題中出現．