Question

【題目】已知函數.

（1）若恒成立，求實數的最大值；

（2）在（1）成立的條件下，正實數，滿足，證明：.

Answer 1

【答案】(1)2；(2)證明見解析.

【解析】

（1）由題意可得，則原問題等價于，據此可得實數的最大值.

（2）證明：法一：由題意結合(1)的結論可知，結合均值不等式的結論有，據此由綜合法即可證得.

法二：利用分析法，原問題等價于，進一步，只需證明，分解因式后只需證，據此即可證得題中的結論.

（1）由已知可得，

所以，

所以只需，解得，

∴，所以實數的最大值.

（2）證明：法一：綜合法

∵，

∴，

∴，當且僅當時取等號，①

又∵，∴，

∴，當且僅當時取等號，②

由①②得，∴，所以.

法二：分析法

因為，，

所以要證，只需證，

即證，

∵，所以只要證，

即證，

即證，因為，所以只需證，

因為，所以成立，

所以.