Question

如圖，在四棱錐中，底面為矩形，.
（1）求證，并指出異面直線PA與CD所成角的大小；
（2）在棱上是否存在一點，使得？如果存在，求出此時三棱錐與四棱錐的體積比；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

(1);(2)詳見解析.

試題分析：(1)要證明,只需證明面,利用面,推出,又因為矩形,得到,從而易證面；若證得面，顯然與的角為直角；
（2）當點為中點時，與交于點0，易證,使面,利用體積的轉化得到，，最終得到三棱錐與四棱錐的體積比.
試題解析：（1）∵，，
∴                      2分
∵四邊形為矩形，∴，
又，∴            4分
故，∴             5分
PA與CD所成的角為                6分
（2）當點E為棱PD的中點時，        6分
下面證明并求體積比：
取棱PD的中點E，連接BD與AC相交于點O，連接EO.
∵四邊形為矩形，∴O為BD的中點
又E為棱PD的中點，∴.
∵，
∴                    8分
當E為棱PD的中點時，，
又，∴