Question

已知命題P：“函數y=

x+m

x+1

在（-1，+∞）上單調遞增．”命題Q：“冪函數y=xm2-2m-3在（0，+∞）上單調遞減”．
（1）若命題P和命題Q同時為真，求實數m的取值范圍；
（2）若命題P和命題Q有且只有一個真命題，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題設知P：m＜1，Q：-1＜m＜3，由此能求出當命題P和命題Q同時為真時，實數m的取值范圍．
（2）當命題P和命題Q有且僅有一個真時，P真Q假，或P假Q真，由此能求了若命題P和命題Q有且只有一個真命題時，實數m的取值范圍．

解答：解：（1）∵命題P：“函數y=

x+m

x+1

在（-1，+∞）上單調遞增．”
命題Q：“冪函數y=xm2-2m-3在（0，+∞）上單調遞減”．
∴P：m＜1，Q：-1＜m＜3，
∴當命題P和命題Q同時為真時，實數m的取值范圍是：-1＜m＜1．
（2）當命題P和命題Q有且僅有一個真時，P真Q假，或P假Q真，
當P真Q假時，

m＜1 m≤-1，或m≥3

，
解得實數m的取值范圍是：m≤-1．
當P真Q假時，

m≥1 m＜-1，或m≥3

，
解得實數m的取值范圍是：1≤m≤3．
綜上所述，若命題P和命題Q有且只有一個真命題，
實數m的取值范圍（-∞，-1]∪[1，3]．

點評：本題考查復合命題的真假，是基礎題．解題時要認真審題，仔細解答．