Question

【題目】如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C， D為OC的中點(diǎn)，直線AD交拋物線于點(diǎn)E（2，6），且△ABE與△ABC的面積之比為3∶2．

（1）求這條拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

（2）連結(jié)BD，試判斷BD與AD的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（3）連結(jié)BC交直線AD于點(diǎn)M，在直線AD上，是否存在這樣的點(diǎn)N（不與點(diǎn)M重合），使得以A、B、N為頂點(diǎn)的三角形與△ABM相似？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）根據(jù)△ABE與△ABC的面積之比為3∶2及E（2，6），可得C（0，4）.

∴D（0，2）. 由D（0，2）、E（2，6）可得直線AD所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝2x＋2.

當(dāng)y＝0時(shí)，2x＋2＝0，解得x＝－1. ∴A（－1，0）.

由A（－1，0）、C（0，4）、E（2，6）求得拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為

y＝－x2＋3x＋4.

（2）BD⊥AD.

求得B（4，0），通過(guò)相似或勾股定理逆定理證得∠BDA＝90°，即BD⊥AD.

（3）法1：求得M（，），AM＝. 由△ANB∽△ABM，得＝，即AB2＝AM·AN，

∴52＝·AN，解得AN＝3.從而求得N（2，6）.

法2：由OB＝OC＝4及∠BOC＝90°得∠ABC＝45°.

由BD⊥AD及BD＝DE＝2得∠AEB＝45°.

∴△AEB∽△ABM，即點(diǎn)E符合條件，∴N（2，6）.

【解析】（1）根據(jù)△ABE與△ABC的面積之比為3∶2及E（2，6），可得C（0，4）.

∴D（0，2）. 由D（0，2）、E（2，6）根據(jù)待定系數(shù)法可得直線AD所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝2x＋2.

求得一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)A（－1，0），由A（－1，0）、C（0，4）、E（2，6）根據(jù)待定系數(shù)法

求得拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為y＝－x2＋3x＋4.

求得B（4，0），通過(guò)相似或勾股定理逆定理證得∠BDA＝90°，即BD⊥AD.

由△ANB∽△ABM，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)。