Question

【題目】已知數列{an}中，a1=2，an+1﹣an﹣2n﹣2=0（n∈N*）．
（1）求數列{an}的通項公式；
（2）設 ，若對任意的正整數n，當m∈[﹣1，1]時，不等式 恒成立，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得an+1﹣an﹣2n﹣2=0，則an+1﹣an=2n+2，

∴an﹣an﹣1=2n（n≥2），

∴a2﹣a1=2×2，a3﹣a2=2×3，…，an﹣an﹣1=2n，

通過疊加得an=2（2+3+…+n）+a1

=2× +2=n（n+1）（n≥2）．

又∵a1=2符合此通項公式，

∴an=n（n+1）

（2）解：由（1）得，

= +…+

=（ ）+（ ）+（ ）+…+（ ）

= = = ，

設y=2x+ +3，則函數在（ ，+∞）上遞增，

∴當n=1時， 取到最小值為6，

∴bn的最大值為 ，

故要使不等式 對一切m∈[﹣1，1]成立，

須使 ，即t2﹣2mt＞0對一切m∈[﹣1，1]恒成立．

設g（m）=t2﹣2mt，

當t=0時，g（m）＞0不成立，

當t≠0時，g（m）是一次函數，

則 ，即 ，解得t＞2或t＜﹣2，

綜上得，t的取值范圍是（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）

【解析】（1）由題意得an﹣an﹣1=2n（n≥2），再給n具體值列出方程，利用疊加法和等差數列的前n項和公式，求出an；（2）由（1）表示出bn ， 再通過裂項相消法化簡bn ， 構造函數y=2x+ +3判斷出單調性，再求出 的最小值，即求出bn的最大值，由恒成立列出不等式：t2﹣2mt＞0，再一次構造函數g（m）=t2﹣2mt，并進行分類列出恒成立的條件，求出t的范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用數列的前n項和的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．