Question

（（本小題滿分12分）
如圖，已知，，，,．

（Ⅰ）求證：;          
(Ⅱ) 若，求二面角 的余弦值．

Answer 1

證法一(Ⅰ)：如圖（1），取的中點M，連接AM，FM，

，  ∴．
，
∴，∴AM∥BE
又∵,,
∴．
∵CF="FD,DM=ME,  " ∴MF∥CE,
又∵,,
∴,   又∵,
∴,  
∵,
∴．-------5分
證法二：如圖（2），取CE的中點N，連接FN，BN，

∵，
∴，
∵CF=FD，CN="NE, " ∴ ，，
又，  ∴，，
∴,
∴AF∥BN， 又∵,，
∴．------5分
(Ⅱ)解法一：如圖（3）過F作交AD于點P，作PG⊥BE，連接FG．

∵，,
∴
∴∴FG⊥BE（三垂線定理）．
所以，∠PGF就是二面角的平面角．
由，，知△是正三角形，
在Rt△DPF中，, ，∴PA=3，
∴,
∵， ∴
∴在Rt△PGF中，由勾股定理，得,
∴，即二面角的余弦值為．----12分
解法二：以A為原點，分別以AC，AB為軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，
如圖（4）所示，則A(0,0,0)，B(0,0,2), ,,于是，有

，，，
設平面BEF的一個法向量為，則
  令，可得，
設平面ABED的一個法向量為，則
  ，可得，
∴
所以，所求的二面角的余弦值為．------12分

略