Question

已知圓圓動(dòng)圓與圓外切并與圓內(nèi)切，圓心的軌跡為曲線(xiàn).
(1)求的方程；
（2）是與圓,圓都相切的一條直線(xiàn),與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，當(dāng)圓的半徑最長(zhǎng)時(shí),求.

Answer 1

(1) （2）

試題分析：解：(1)圖略：設(shè)動(dòng)圓半徑設(shè)為動(dòng)圓與圓外切，即：
動(dòng)圓與圓內(nèi)切，即兩式相加得：. 
點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓， 
因焦點(diǎn)在x軸上，所以的軌跡方程是,
（2）動(dòng)圓的半徑設(shè)為則
把代入整理得 此時(shí)圓心圓的方程是 
與圓,圓都相切，若傾斜角等于為所求；
傾斜角不等于 
與圓：,圓都相切，
,且   整理（1）（2）得

聯(lián)立（3）（4），得
切線(xiàn)方程為或,由于對(duì)稱(chēng)性，兩切線(xiàn)與橢圓相交的弦長(zhǎng)相等
不妨聯(lián)立與整理得：
(求根公式，兩點(diǎn)距離也可以)；（用另一條弦長(zhǎng)公式也可以）
，綜上（略）
點(diǎn)評(píng)：關(guān)于曲線(xiàn)的大題，第一問(wèn)一般是求出曲線(xiàn)的方程，第二問(wèn)常與直線(xiàn)結(jié)合起來(lái)，當(dāng)涉及到交點(diǎn)時(shí)，常用到根與系數(shù)的關(guān)系式：（）。