Question

某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入客運，據市場分析，每輛客車營運的總利潤y萬元與營運年數x（x∈N^*）的關系為y=-x²+18x-36．
（1）每輛客車營運多少年，可使其營運總利潤最大？
（2）每輛客車營運多少年，可使其營運年平均利潤最大？

Answer 1

分析：（1）先利用配方法將原函數式進行了配方，再利用完全平方式恒不小于0，即可求得二次函數的最值，從而求得每輛客車營運多少年時，可使其營運總利潤最大．
（2）欲使營運年平均利潤最大，即求

y

x

的最大值，故先表示出此式，再結合基本不等式即可求其最大值．

解答：解：（1）每輛客車營運的總利潤為y=-x²+18x-36=-（x-9）²+45，
故x=9時，y取最大值45．
即營運9年可使其營運總利潤最大．
（2）每輛客車營運年平均利潤為

y

x

=

-x2+18x-36

x

=18-(x+

36

x

)≤18-2

x• 36 x

=18-12=6.
當且僅當x=

36

x

時等號成立．解得x=6．
即每輛客車營運6年，可使其營運年平均利潤最大．

點評：本小題主要考查二次函數的性質、基本不等式在最值問題中的應用、基本不等式等基礎知識，考查運算求解能力、化歸與轉化思想．屬于基礎題．