Question

【題目】已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）對任意x∈（0，+∞），2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=lnx+1，

令f′（x）＜0得：0＜x＜ ，

∴f（x）的單調遞減區間是（0， ），

令f'（x）＞0得：x＞ ，

∴f（x）的單調遞增區間是（ ，+∞）

（2）解：∵g′（x）=3x2+2ax﹣1，由題意2xlnx≤3x2+2ax+1，

∵x＞0，

∴a≥lnx﹣ x﹣ 恒成立①，

設h（x）=lnx﹣ ﹣ ，

則h′（x）= ﹣ + =﹣

令h′（x）=0得：x=1，x=﹣ （舍去）

當0＜x＜1時，h′（x）＞0；

當x＞1時，h'（x）＜0

∴當x=1時，h（x）有最大值﹣2，

若①恒成立，則a≥﹣2，

即a的取值范圍是[﹣2，+∞）

【解析】（1）先求出其導函數，再讓其導函數大于0對應區間為增區間，小于0對應區間為減區間即可．（注意是在定義域內找單調區間．）（2）已知條件可以轉化為a≥lnx﹣ x﹣ 恒成立，對不等式右邊構造函數，利用其導函數求出函數的最大值即可求實數a的取值范圍．
【考點精析】關于本題考查的利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數，需要了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能得出正確答案．