Question

【題目】如圖，直三棱柱中，，，，，點是棱上不同于的動點.

（1）證明：；

（2）若平面將棱柱分成體積相等的兩部分，求此時二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）.

【解析】

（1）先由余弦定理可求得，再由勾股定理可得，然后由和即可證得平面，從而得證；

（2）由題設知，，結合柱體的體積可得，所以是的中點，以為坐標原點，的方向為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，進而利用法向量求解二面角即可.

（1）證明：（方法一）在中，由余弦定理

.

∴，則，∴.

∴，

又，，

∴平面

又平面，

∴

證明：（方法二）在中，，

∴，∴

又，，

∴平面

又平面，

∴

（2）

由題設知，

又

，∴是的中點.

∴以為坐標原點，的方向為軸，軸，軸建立如圖的空間直角坐標，

∴，，，，，

設是平面的法向量，

，，令，，

∴

平面的法向量，

.

所以二面角的余弦值為.