Question

已知雙曲線的左、右頂點分別為A、B，右焦點為F(c，0)(c＞0)，右準線為，|AF|＝3．過點F作直線交雙曲線的右支于P，Q兩點，延長PB交右準線l于M點．

(Ⅰ)求雙曲線的方程；

(Ⅱ)若，求△PBQ的面積S；

(Ⅲ)(理)若(λ≠0，λ≠－1)，問是否存在實數μ＝f(λ)，使得：．若存在，求出μ＝f(λ)的表達式；若不存在，請說明理由．

(文)若，問是否存在實數μ，使得：．若存在，求出μ的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)由題意知，則雙曲線方程為：． (Ⅱ)設，易得，F(2，0)，A(－1，0)，B(1，0)，右準線，當PQ垂直于x軸時，不合題意， 可設PQ方程為：y＝k(x－2)． 代入雙曲線方程可得：， 由于P、Q都在雙曲線的右支上，所以， ． ∴， 由于＝＝， 由·＝－17可得：， 由此，，， ∴， ∴ (Ⅲ)(理)存在實數μ滿足題設條件． ∵PB的直線方程為：，令得， 即， ∵＝λ， ∴， 即 又∵ 把③④代入②得：　　　　　　⑤ 由①⑤得：，，又∵＝． ∴ ， 令， ∴． 故存在實數μ，滿足題設條件． (文)存在實數μ，滿足題設條件， ∵PB的直線方程為：，令得， 即， ∵＝2， ∴， 即 又∵ 把③④代入②得：，　　　　　⑤ 由①⑤得：，，，， 又∵， ∴ ， 即， 則存在實數，滿足題設條件．