Question

如圖所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F是BE的中點．
（1）求證：DF∥平面ABC；
（2）求證：AF⊥BD．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證DF∥平面ABC，根據直線與平面平行的判定定理可知只需證DF與平面ABC內一直線平行，而DF∥CG，CG?平面ABC，DF?平面ABC，滿足定理條件；
（2）欲證AF⊥BD，可先證AF⊥平面BDF，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證AF與平面BDF內兩相交直線垂直，而AF⊥BE，DF⊥AF，滿足定理條件．
解答：證明：（1）取AB的中點G，連接FG，可得FG∥AE，FG=AE，
又CD⊥平面ABC，AE⊥平面ABC，
∴CD∥AE，CD=AE，
∴FG∥CD，FG=CD，
∵FG⊥平面ABC，
∴四邊形CDFG是矩形，DF∥CG，
CG?平面ABC，DF?平面ABC，
∴DF∥平面ABC．

（2）Rt△ABE中，AE=2a，AB=2a，
F為BE中點，∴AF⊥BE，
∵△ABC是正三角形，∴CG⊥AB，
∴DF⊥AB，
又DF⊥FG，
∴DF⊥平面ABE，DF⊥AF，
∴AF⊥平面BDF，∴AF⊥BD．
點評：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及通過線面垂直推線線垂直，屬于基礎題．