Question

如圖所示，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2DC，F是BE的中點．求證：
（1）DF∥平面ABC；
（2）AF⊥BD．

Answer 1

分析：（1）要證DF∥平面ABC，只要證DF平行于平面ABC內的一條直線，取AB中點N，連結FN，NC，可證四邊形DCNF為平行四邊形，則答案得證；
（2）要證明AF⊥BD，可證明BF為BD在平面ABE上的射影，即證DF⊥面ABE，也就是證CN⊥面ABE，由線面垂直的判定得答案．

解答：證明：如圖，
（1）取AB中點N，連結FN，NC，
∵F為BE的中點，∴FN為△ABE的中位線，∴FN∥NE，FN=

1

2

NE，
又AE、CD都垂直于面ABC，2CD=AE，∴AE∥CD，∴CD∥FN且CD=FN，
∴四邊形CDFN為平行四邊形，∴DF∥CN，又DF?面ABC，CN?面ABC，∴DF∥面ABC；
（2）∵AE=AB，F是BE的中點，在△ABC中，N是AB的中點，∴AF⊥BE，CN⊥AB，
∵AE⊥面ABC，AE?面ABE，∴面ABE⊥面ABC，又CN⊥AB，∴CN⊥面ABE，
∴DF⊥面ABE，∴DB在平面ABE的射影為BF，∴AF⊥BD．

點評：本題考查了直線與平面平行的判定，考查了直線與平面垂直的性質，考查了學生的空間想象和思維能力，是中檔題．