Question

10．已知函數y=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2sin²（x-$\frac{π}{12}$），x∈R
（1）求y的最小正周期
（2）求y的最大值及此時x的取值集合．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數的恒等變換化簡函數的解析式，再利用正弦函數的周期性，得出結論；（2）根據正弦函數的性質得到關于x的方程，解出即可．

解答 解：（1）y=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+2sin²（x-$\frac{π}{12}$）
=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1-cos（2x-$\frac{π}{6}$）
=2[（$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$cos（2x-$\frac{π}{6}$）]
=2sin（2x-$\frac{π}{3}$）+1，
∴函數f（x）的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，
（2）由（1）當2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$時，函數f（x）取得最大值為3，
此時，x的取值集合為{x|x=kπ+$\frac{5π}{12}$，k∈Z}．

點評 本題主要考查三角函數的恒等變換，正弦函數的周期性性問題，屬于中檔題．