Question

（2007•楊浦區二模）（理）在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中（如圖），AD=AA₁=1，AB=2，點E是棱AB上的動點．
（1）當異面直線AD₁與EC所成角為60°時，請你確    定動點E的位置．
（2）求三棱錐C-DED₁的體積．

Answer 1

分析：（1）以DA為x軸，以DC為y軸，以DD′為z軸，建立空間直角坐標系． E（1，t，0），分別求出異面直線AD₁與EC的方向向量，根據異面直線AD₁與EC所成角為60°，我們可以構造一個關于t的方程，解方程即可確定出動點E的位置．
（2）由等體積法，我們可得V C-DED 1=V D 1-DEC，分別求出三棱錐的底面面積和高，代入棱錐的體積公式，即可求出三棱錐C-DED₁的體積．

解答：解：（1）以DA為x軸，以DC為y軸，以DD′為z軸，建立空間直角坐標系．
設 E（1，t，0）則A（1，0，0），D（0，0，0），D′（0，0，1），C（0，2，0）
則

D′A

=（1，0，-1），

CE

=（1，t-2，0）
根據數量積的定義及已知得：

D′A

•

CE

=1=

2

•

1+(t-2) 2

•cos60°（4分）
∴t=2
∴E的位置是AB中點．（6分）
（2）V C-DED 1=V D 1-DEC=

1

3

•S_△DEC•DD₁=

1

3

•

1

2

•2•1•1=

1

3

     （12分）

點評：本題考查的知識點是棱錐的體積，異面直線及其所成的角，其中（1）的關鍵是建立空間坐標系，將異面直線的夾角問題轉化為向量夾角問題，（2）的關鍵是根據等體積法，將求三棱錐C-DED₁的體積，轉化為求三棱錐D₁-DEC的體積．