Question

已知點(diǎn)P（4，4），圓C：（x-m）²+y²=5（m＜3）與橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)有一個(gè)公共點(diǎn)A（3，1），F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，直線(xiàn)PF₁與圓C相切．
（1）求m的值；
（2）求橢圓E的方程．

Answer 1

（1）點(diǎn)A（3，1）代入圓C方程，得（3-m）²+1=5，
∵m＜3，∴m=1，；
（2）設(shè)直線(xiàn)PF₁的斜率為k，則PF₁：y=k（x-4）+4，即kx-y-4k+4=0，
因?yàn)橹本�(xiàn)PF₁與圓C相切，所以

|k-0-4k+4|

k2+1

=

5

，解得k=

11

2

，或k=

1

2

．
當(dāng)k=

11

2

時(shí)，直線(xiàn)PF₁與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為

36

11

，不合題意，舍去．
當(dāng)k=

1

2

時(shí)，直線(xiàn)PF₁與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)為-4，所以c=4，F(xiàn)₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），
所以2a=|AF1|+|AF2|=5

2

+

2

=6

2

，a=3

2

，a²=18，b²=2，
所以橢圓E的方程為

x2

18

+

y2

2

=1．