Question

定義在(0，+∞)內的函數f(x),對任意的x,y∈(0,+∞)都有f(xy)=f(x)+f(y),當且僅當x＞1時f(x)＞0成立.

(1)設x,y∈(0,+∞),求證：f()=f(y)-f(x);

(2)設x₁,x₂∈(0,+∞),f(x₁)＞f(x₂),試比較x₁,x₂的大小；

(3)解不等式f()＞f(a^x-3)(0＜a＜1).

Answer 1

分析：有關抽象函數的不等式其實就是研究抽象函數的單調性，在把抽象函數不等式轉化為普通不等式時，不能忘記抽象函數的定義域要求.

解析：(1)∵f(x)+f(y)=f(xy),

∴f()+f(x)=f(·x)=f(y),

∴f()=f(y)-f(x).

(2)∵f(x₁)＞f(x₂)f(x₁)-f(x₂)＞0

f()＞0＞1x₁＞x₂,

∴x₁＞x₂.

(3)由(2)知，f()＞f(a^x-3)等價于

3＜a^x＜5log_a3＞x＞log_a5.

∴原不等式的解集為(log_a5,log_a3)(0＜a＜1).