Question

設(shè)f（x）是定義在[0，1]上的函數(shù)，若存在x^*∈（0，1），使得f（x）在[0，x^•]上單調(diào)遞增，在[x^•，1]單調(diào)遞減，則稱f（x）為[0，1]上的單峰函數(shù)，x^•為峰點(diǎn)，包含峰點(diǎn)的區(qū)間為含峰區(qū)間．
對(duì)任意的[0，1]上的單峰函數(shù)f（x），下面研究縮短其含峰區(qū)間長度的方法．
（Ⅰ）證明：對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂，若f（x₁）≥f（x₂），則（0，x₂）為含峰區(qū)間；若f（x₁）≤f（x₂），則（x₁，1）為含峰區(qū)間；
（Ⅱ）對(duì)給定的r（0＜r＜0.5），證明：存在x₁，x₂∈（0，1），滿足x₂-x₁≥2r，使得由（Ⅰ）確定的含峰區(qū)間的長度不大于0.5+r；
（Ⅲ）選取x₁，x₂∈（0，1），x₁＜x₂由（Ⅰ）可確定含峰區(qū)間為（0，x₂）或（x₁，1），在所得的含峰區(qū)間內(nèi)選取x₃，由x₃與x₁或x₃與x₂類似地可確定是一個(gè)新的含峰區(qū)間．在第一次確定的含峰區(qū)間為（0，x₂）的情況下，試確定x₁，x₂，x₃的值，滿足兩兩之差的絕對(duì)值不小于0.02且使得新的含峰區(qū)間的長度縮短到0.34．
（區(qū)間長度等于區(qū)間的右端點(diǎn)與左端點(diǎn)之差）．

Answer 1

分析：（1）本題是一道新定義題，咋一看挺繁瑣且無從下手，其實(shí)這類新定義題目只需牢牢的抓住題干定義，需要分f（x₁）≥f（x₂）和 f（x₁）≤f（x₂）兩類情況討論分析；
（2）有了（1）的討論處理，第（2）顯的容易一些，只要借助（1）用r把x₁，x₂分別表達(dá)出來；
（3）本問題是在第（2）問的基礎(chǔ)上又提出的問題，關(guān)鍵是找出以下兩組關(guān)系式：x₁+x₂=l和x₃+x₁=x₂，

解答：證明：（I）設(shè)x*為f（x）的峰點(diǎn)，則由單峰函數(shù)定義可知，f（x）在[0，x*]上單調(diào)遞增，在[x*，1]上單調(diào)遞減．
當(dāng)f（x₁）≥f（x₂）時(shí)，假設(shè)x*∉（0，x₂），則x₁＜x₂＜x*，從而f（x*）≥f（x₂）＞f（x₁），
這與f（x₁）≥f（x₂）矛盾，所以x*∈（0，x₂），即（0，x₂）是含峰區(qū)間．
當(dāng)f（x₁）≤f（x₂）時(shí)，假設(shè)x*∉（x₁，1），則x*≤x₁＜x₂，從而f（x*）≥f（x₁）＞f（x₂），
這與f（x₁）≤f（x₂）矛盾，所以x*∈（x₁，1），即（x₁，1）是含峰區(qū)間．
（II）由（I）的結(jié)論可知：
當(dāng)f（x₁）≥f（x₂）時(shí)，含峰區(qū)間的長度為l₁=x₂；
當(dāng)f（x₁）≤f（x₂）時(shí)，含峰區(qū)間的長度為l₂=1-x₁；
對(duì)于上述兩種情況，由題意得

x2≤0.5+r 1-x1≤0.5+r

①
由①得1+x₂-x₁≤1+2r，即x₂-x₁≤2r
又因?yàn)閤₂-x₁≥2r，所以x₂-x₁=2r，②
將②代入①得
x₁≤0.5-r，x₂≥0.5-r，③
由①和③解得x₁=0.5-r，x₂=0.5+r．
所以這時(shí)含峰區(qū)間的長度l₁=l₁=0.5+r，即存在x₁，x₂使得所確定的含峰區(qū)間的長度不大于0.5+r．
（III）解：對(duì)先選擇的x₁；x₂，x₁＜x₂，由（II）可知
x₁+x₂=l，④
在第一次確定的含峰區(qū)間為（0，x₂）的情況下，x₃的取值應(yīng)滿足
x₃+x₁=x₂，⑤
由④與⑤可得

x2=1-x1 x3=1-2x1

，
當(dāng)x₁＞x₃時(shí)，含峰區(qū)間的長度為x₁．
由條件x₁-x₃≥0.02，得x₁-（1-2x₁）≥0.02，從而x₁≥0.34．
因此，為了將含峰區(qū)間的長度縮短到0.34，只要取x₁=0.34，x₂=0.66，x₃=0.32．

點(diǎn)評(píng)：新定義題目一定要注意舍得花時(shí)間讀懂、理解好定義，這是解決問題的關(guān)鍵所在．另外，證明要注意本題的矛盾手法的使用．本題的是借用新定義的手法考查學(xué)生對(duì)分段函數(shù)的理解和掌握，分段函數(shù)的學(xué)習(xí)一向是高中學(xué)習(xí)的難點(diǎn)．