Question

已知中心在原點，焦點在坐標軸上的橢圓的方程為它的離心率為，一個焦點是(-1,0)，過直線上一點引橢圓的兩條切線，切點分別是A、B.
(1)求橢圓的方程；
(2)若在橢圓上的點處的切線方程是.求證：直線AB恒過定點C，并求出定點C的坐標；
(3)是否存在實數,使得求證： (點C為直線AB恒過的定點).若存在，請求出，若不存在請說明理由

Answer 1

（I）橢圓方程為. （II）直線AB恒過定點. （III）

解析試題分析：（I）設橢圓方程為的焦點是，故，又，所以，所以所求的橢圓方程為.    4分
（II）設切點坐標為,,直線上一點M的坐標，則切線方程分別為，，又兩切線均過點M，即，即點A,B的坐標都適合方程，故直線AB的方程是，顯然直線恒過點（1,0），故直線AB恒過定點.  8分
（III）將直線AB的方程，代入橢圓方程，得
，即，
所以，不妨設，
，同理，  12分
所以
，
即，  14分
考點：本題主要考查橢圓標準方程，直線與橢圓的位置關系，存在性問題研究。
點評：難題，曲線關系問題，往往通過聯立方程組，得到一元二次方程，運用韋達定理。本題求橢圓、標準方程時，主要運用了橢圓的幾何性質。對于存在性問題，往往先假設存在，利用已知條件加以探究，以明確計算的合理性。本題（III）通過假設t，利用韋達定理進一步確定相等長度，明確了關系。