Question

已知AD是△ABC邊BC的中線，用坐標法證明：|AB|²+|AC|²=2（|AD|²+|DC|²）$\end{array}$．

Answer 1

【答案】分析：以D為坐標原點、BC所在直線為x軸，建立直角坐標系如圖，設C（c，0），B（-c，0），A（a，b），分別計算出|AB|²、
|AC|²、|AD|²和|DC|²關于a、b、c的式子，再進行比較即可證出原等式成立．
解答：解：以D為坐標原點，BC所在直線為x軸建立如圖坐標系
設C（c，0），B（-c，0），A（a，b）
∴|AB|²=（a+c）²+b²，|AC|²=（a-c）²+b²
可得：|AB|²+|AC|²=[（a+c）²+b²]+[（a-c）²+b²]=2（a²+b²+c²）
∵|AD|²=a²+b²，|AC|²=c²．
∴2（|AD|²+|AC|²）=2（a²+b²+c²）
因此，|AB|²+|AC|²=2（|AD|²+|AC|²），原命題得證
點評：本題給出三角形的中線，求證與之相關的一個平方等式成立．著重考查了三角形中線的性質和運用坐標法證明幾何性質等知識，屬于基礎題．