Question

已知AD是△ABC邊BC的中線，用坐標(biāo)法證明：|AB|²+|AC|²=2（|AD|²+|DC|²）$\end{array}$．

Answer 1

分析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)、BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)C（c，0），B（-c，0），A（a，b），分別計(jì)算出|AB|²、
|AC|²、|AD|²和|DC|²關(guān)于a、b、c的式子，再進(jìn)行比較即可證出原等式成立．

解答：解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC所在直線為x軸建立如圖坐標(biāo)系
設(shè)C（c，0），B（-c，0），A（a，b）
∴|AB|²=（a+c）²+b²，|AC|²=（a-c）²+b²
可得：|AB|²+|AC|²=[（a+c）²+b²]+[（a-c）²+b²]=2（a²+b²+c²）
∵|AD|²=a²+b²，|AC|²=c²．
∴2（|AD|²+|AC|²）=2（a²+b²+c²）
因此，|AB|²+|AC|²=2（|AD|²+|AC|²），原命題得證

點(diǎn)評(píng)：本題給出三角形的中線，求證與之相關(guān)的一個(gè)平方等式成立．著重考查了三角形中線的性質(zhì)和運(yùn)用坐標(biāo)法證明幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．