Question

已知定義在R上的函數f（x）滿足：①對任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y）．②當x＞0時，f（x）＜0且f（1）=-2．兩個條件，
（1）求證：f（0）=0；
（2）判斷函數f（x）的奇偶性；
（3）判斷函數f（x）的單調性；
（4）解不等式f（x²-2x）-f（x）≥-8．

Answer 1

分析：（1）令x=y=0，可得f（0）的值；
（2）令y=-x，可得f（x）與f（-x）的關系，知f（x）的奇偶性；
（3）用定義判定f（x）的單調性；
（4）利用f（x）的單調性與奇偶性化簡不等式f（x²-2x）-f（x）≥-8，再求出解集．

解答：解：（1）證明：∵對任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，則有f（0）=f（0）+f（0）；
∴f（0）=0；
（2）令y=-x，則有f（0）=f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）是定義域R上的奇函數；
（3）任取x₁，x₂∈R，設x₁＜x₂，
則有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₁）＞f（x₂）；
∴f（x）是R上的減函數；
（4）∵f（x²-2x）-f（x）=f（x²-2x）+f（-x）=f（x²-3x）≥-8，
又-8=4f（1）=f（4），即f（x²-3x）≥f（4）；
且f（x）是R上的減函數；
∴x²-3x≤4，
解得-1≤x≤4；
∴不等式的解集為{x|-1≤x≤4}．

點評：本題考查了函數的單調性與奇偶性的判定以及應用問題，是中檔題題．