Question

已知定義在R上的函數f(x)對任意實數x、y恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當x＞0時，f(x)＜0，又f(1)＝－.
(1)求證：f(x)為奇函數；       (2)求證：f(x)在R上是減函數；
(3)求f(x)在[－3，6]上的最大值與最小值．

Answer 1

（1）見解析；（2）見解析；（3）最大值為2，最小值為－4

解析試題分析：（1）欲證函數為奇函數，需尋找關系.由題中條件可知，需要從f(x)＋f(y)＝f(x＋y)拼湊出與，令,便有,需求得,考慮到,令特殊值求；（2）同一樣的思想，這里需要拼湊出與（）不等于關系（需利用當x＞0時，f(x)＜0）；（3）利用（1），（2）結論解（3）.
試題解析：令,可得從而.
令，可得，即，
故為奇函數．                                          4分
證明：設，且，則，于是.
從而.
所以為減函數．                                         8分
解：由(2)知，所求函數的最大值為，最小值為．
,
.
于是在上的最大值為2，最小值為－4.                12分
考點：（1）函數奇偶性的證明（明確一般方法和過程）；（2）函數單調性證明（緊扣證明過程）；（3）求函數最值.