Question

已知函數．
（1）求函數的定義域；
（2）判斷函數的奇偶性；
（3）當時，函數，求函數的值域．

Answer 1

（1）函數的定義域為；（2）函數是奇函數；（3）函數的值域為．

解析試題分析：（1）具有解析式的函數的定義域無特殊情況下，通常就是使解析式有意義的自變量的取值范圍；通常關注的是：①開偶次方時被開方的式子為非負；②作為分母不得為零；③作為對數的真數必須為正；④作為對數的底數必須為正且不為；（2）奇、偶性的判斷，首先必須關注定義域，定義域關于原點對稱是函數具備奇、偶性的必要條件，接下來用定義或等價定義來判斷；（3）求函數值域的方法很多，在大題中經常通過探討函數單調性來達到求函數值域的目的，這里即是．
試題解析：（1）由得，則函數的定義域為．       4分
（2）當時，，
因此，函數是奇函數．                                              9分
（3）設，當時，
則函數在區間上是減函數，
故函數在區間上也是減函數．                                12分
（證明單調性也可用定義）
則，                            13分
因此，函數的值域為．                                         14分
考點：函數的定義域、值域、單調性、奇偶性等的綜合應用．