Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓E： =1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1 ， F2 ， 離心率為 ，兩準線之間的距離為8．點P在橢圓E上，且位于第一象限，過點F1作直線PF1的垂線l1 ， 過點F2作直線PF2的垂線l2 ．
（Ⅰ）求橢圓E的標準方程；
（Ⅱ）若直線l1 ， l2的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意可知：橢圓的離心率e= = ，則a=2c，①
橢圓的準線方程x=± ，由2× =8，②
由①②解得：a=2，c=1，
則b2=a2﹣c2=3，
∴橢圓的標準方程： ；
（Ⅱ）設P（x0 ， y0），則直線PF2的斜率 = ，
則直線l2的斜率k2=﹣ ，直線l2的方程y=﹣ （x﹣1），
直線PF1的斜率 = ，
則直線l2的斜率k2=﹣ ，直線l2的方程y=﹣ （x+1），
聯立 ，解得： ，則Q（﹣x0 ， ），
由Q在橢圓上，則y0= ，則y02=x02﹣1，
則 ，解得： ，則 ，
∴P（ ， ）或P（﹣ ， ）或P（ ，﹣ ）或P（﹣ ，﹣ ）．

【解析】（Ⅰ）由橢圓的離心率公式求得a=2c，由橢圓的準線方程x=± ，則2× =8，即可求得a和c的值，則b2=a2﹣c2=3，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）設P點坐標，分別求得直線PF2的斜率及直線PF1的斜率，則即可求得l2及l1的斜率及方程，聯立求得Q點坐標，由Q在橢圓方程，求得y02=x02﹣1，聯立即可求得P點坐標；
【考點精析】根據題目的已知條件，利用點斜式方程的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握直線的點斜式方程：直線經過點，且斜率為則：．