Question

15．已知函數f（x）=x-alnx（a∈R）
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）若不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出導函數，通過當a≤0時，當a＞0時，判斷導函數的符號，然后判斷函數的單調性．
（2）通過當a=0時，當a＜0時，當a＞0時，分別求解判斷求解函數的最小值，推出a的取值范圍．

解答 解：（1）$f'（x）=1-\frac{a}{x}=\frac{x-a}{x}$，…（1分）
當a≤0時，∵x＞0，∴f'（x）＞0恒成立，
∴f（x）在定義域（0，+∞）上單調遞增…（3分）
當a＞0時，令f'（x）=0，得x=a，
∵x＞0，∴f'（x）＞0得x＞a；f'（x）＜0得0＜x＜a，
∴f（x）在（0，a）上單調遞減，
在（a，+∞）上單調遞增．…（5分）
（2）當a=0時，f（x）＞0恒成立…（6分）
當a＜0時，當x→0時，f（x）→-∞，f（x）≥0不成立…（8分）
當a＞0時，由（1）可知f（x）_min=f（a）=a-alna，由f（a）=a-alna≥0
得1-lna≥0，∴a∈（0，e]…（11分）
綜上所述，a的取值范圍是[0，e]．…（12分）

點評 本題考查函數的單調性的判斷與應用，導數的應用，考查分類討論思想以及轉化思想的應用．