Question

【題目】已知橢圓： （）過點，且橢圓的離心率為．

（1）求橢圓的方程；

（2）若動點在直線上，過作直線交橢圓于兩點，且為線段中點，再過作直線．求直線是否恒過定點，如果是則求出該定點的坐標，不是請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線恒過定點．

【解析】試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程以及幾何性質、直線的標準方程、直線與橢圓的位置關系、韋達定理等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力．第一問，利用點在橢圓上和離心率得到方程組，解出a和b的值，從而得到橢圓的標準方程；第二問，需要對直線MN的斜率是否存在進行討論，（ⅰ）若存在點P在MN上，設出直線MN的方程，由于直線MN與橢圓相交，所以兩方程聯立，得到兩根之和，結合中點坐標公式，得到直線MN的斜率，由于直線MN與直線垂直，從而得到直線的斜率，因為直線也過點P，寫出直線的方程，經過整理，即可求出定點，（ⅱ）若直線MN的斜率不存在，則直線MN即為，而直線為x軸，經驗證直線，也過上述定點，所以綜上所述，有定點．

（1）因為點在橢圓上，所以， 所以， 1分

因為橢圓的離心率為，所以，即， 2分

解得， 所以橢圓的方程為． 4分

（2）設， ，

①當直線的斜率存在時，設直線的方程為， ， ，

由得，

所以， 因為為中點，所以，即．

所以， 8分

因為直線，所以，所以直線的方程為，

即，顯然直線恒過定點． 10分

②當直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時直線為軸，也過點．

綜上所述直線恒過定點． 12分