Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）求證：當(dāng)時(shí)，在上存在最小值；

（2）若是的零點(diǎn)且當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）將代入，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得在上有唯一零點(diǎn)，判斷單調(diào)性即可得結(jié)果；

（2）由為函數(shù)零點(diǎn)，將用表示可得，當(dāng)時(shí)，通過求導(dǎo)可得在上單調(diào)遞增，從而可得結(jié)果；，則取，驗(yàn)證，即時(shí)，不滿足題意，綜合可得結(jié)果.

（1）的定義域?yàn)?/span>.

當(dāng)時(shí)，，.

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，

所以在上單調(diào)遞增，

又，.

所以在上有唯一零點(diǎn)，

且當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，.

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以在上存在最小值.

（2）因?yàn)?/span>是函數(shù)的零點(diǎn)，

所以，即，即，

所以，所以．

①若，則當(dāng)時(shí)，．

所以在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí)，，

所以滿足題意．

②若，則取，

因?yàn)?/span>，且．

所以不滿足題意．

綜上，的取值范圍．