Question

設數列{a_n}滿足a_n+1=

1

an2+2

（n∈N^*），0＜a₁＜

1

2

（Ⅰ）求證：|a_n+2-a_n+1|＜

1

4

|a_n+1-a_n|（n∈N^*）
（Ⅱ）求證：|a_n+1-a_n|＜（

1

4

）^n-1（n∈N^*）
（Ⅲ）對任意n，m，k∈N^*且n＞m＞k，求證：|a_m-a_n|＜

4

3

•（

1

4

）^k．

Answer 1

考點：數列遞推式

專題：證明題,點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（Ⅰ）結合已知a_n+1=

1

an2+2

，把不等式的左邊變形，化為含有a_n+1和a_n的代數式，然后利用絕對值的不等式放大，最后利用作差法證明不等式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的結論直接循環(huán)放大得答案；
（Ⅲ）由n，m，k∈N^*且n＞m＞k得到m-1≥k，然后把不等式左邊變形，得到|a_m-a_n|=|（a_m-a_m+1）+（a_m+1-a_m+2）+…+（a_n-1-a_n）|，再利用絕對值的不等式放大，結合（Ⅱ）的結論得答案．

解答： 證明：（Ⅰ）：∵a_n+1=

1

an2+2

，
∴|a_n+2-a_n+1|=

|an+1+an|

(an+12+2)(an2+2)

|an+1-an|≤

|an+1|+|an|

(an+12+2)(an2+2)

|an+1-an|，
而

1

4

-

|an+1|+|an|

(an+12+2)(an2+2)

=

(an+12+2)(an2+2)-4|an+1|-4|an|

4(an+12+2)(an2+2)

=

an+12an2+2(|an+1|-1)2+2(|an|-1)2

4(an+12+2)(an2+2)

＞0，
即：|a_n+2-a_n+1|＜

1

4

|a_n+1-a_n|（n∈N^*）；
（Ⅱ）∵|a_n+2-a_n+1|＜

1

4

|a_n+1-a_n|（n∈N^*），
∴|an+1-an|＜

1

4

|an-an-1|＜(

1

4

)2|an-1-an-2|＜…＜(

1

4

)n-1|a2-a1|＜(

1

4

)n-1(|a1|+|a2|)，
又0＜a₁＜

1

2

，
∴0＜a2=

1

a12+2

＜

1

2

．
∴|a₁|+|a₂|＜1．
∴：|a_n+1-a_n|＜（

1

4

）^n-1（n∈N^*）；
（Ⅲ）對任意n，m，k∈N^*且n＞m＞k，
∴m-1≥k，
∴|a_m-a_n|=|（a_m-a_m+1）+（a_m+1-a_m+2）+…+（a_n-1-a_n）|
≤|a_m-a_m+1|+|a_m+1-a_m+2|+…+|a_n-1-a_n|
＜(

1

4

)m-1+(

1

4

)m+…+(

1

4

)n-2=

( 1 4 )m-1[1-( 1 4 )n-m]

1- 1 4

＜

4

3

(

1

4

)m-1≤

4

3

(

1

4

)k．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了利用放縮法證明不等式，解答的關鍵是借助于已知條件靈活變形，適當的放大，考查了學生的邏輯思維能力，是壓軸題．