Question

【題目】如圖所示，橢圓，、，為橢圓的左、右頂點．

設為橢圓的左焦點，證明:當且僅當橢圓上的點在橢圓的左、右頂點時，取得最小值與最大值．

若橢圓上的點到焦點距離的最大值為，最小值為，求橢圓的標準方程．

若直線與中所述橢圓相交于、兩點（、不是左、右頂點），且滿足，求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】見解析；；見解析，.

【解析】

設點的坐標為，令，由點在橢圓上，得，

則，代入式子，利用二次函數的性質和的取值范圍，求出函數的最值以及對應的的取值，即可求證；

由已知與，得， ，解得，，再由求出，進而求出橢圓的標準方程；

假設存在滿足條件的直線，設，，聯立直線方程和橢圓方程進行整理，化簡出一元二次方程，再利用韋達定理列出方程組，根據題意得,代入列出關于的方程，進行化簡求解.

設點的坐標為，令．

由點在橢圓上，得，

則，代入，

得，

其對稱軸方程為，

由題意，知恒成立，

在區間上單調遞增．

當且僅當橢圓上的點在橢圓的左、右頂點時，取得最小值與最大值．

由已知與，得， ，

，．．

橢圓的標準方程為．

如圖所示，設，，

聯立，得，

則

則

橢圓的右頂點為，，，

，

即．

．

，

解得，，且均滿足．

當時，l的方程為直線過定點，與已知矛盾．

當時，l的方程為直線過定點，滿足題意，

直線l過定點，定點坐標為．