Question

【題目】已知函數， （其中， ），且函數的圖象在點處的切線與函數的圖象在點處的切線重合．

（1）求實數， 的值；

（2）記函數，是否存在最小的正常數，使得當時，對于任意正實數，不等式恒成立？給出你的結論，并說明結論的合理性．

Answer 1

【答案】(1) ， ;(2) 題目所要求的最小的正常數就是，即存在最小正常數，當時，對于任意正實數，不等式恒成立．

【解析】試題分析：（1）∵，則在點處切線方程為．

又，則在點處切線方程為．兩直線重合所以得解（2）根據（1）知，則， ，即，即，構造函數，則問題就是求恒成立，進行求導研究單調性得在上是增函數，在上是減函數，而， ， ，

則函數在區間和上各有一個零點，設為和（），

從而可知函數在區間和上單調遞減，在區間上單調遞增， ，

當時， ；當時， ．還有是函數的極大值，也是最大值．題目要找的，理由如下;

試題解析：

（1）∵，則在點處切線方程為．

又，則在點處切線方程為．　

由解得， ．

（2）根據（1）知，則，

，即，即，

構造函數，則問題就是求恒成立，

，令，

則，顯然是減函數，又，所以在上是增函數，

在上是減函數，

而，

， ，

則函數在區間和上各有一個零點，設為和（），

并且有在區間和上， ，即；

在區間上， ，即．

從而可知函數在區間和上單調遞減，在區間上單調遞增， ，

當時， ；當時， ．

還有是函數的極大值，也是最大值．題目要找的，理由：

當時，對于任意非零正數， ，而在上單調遞減，所以一定恒成立，即題目要求的不等式恒成立；

當時，取，顯然，題目要求的不等式不恒成立，說明不能比小；

綜上可知，題目所要求的最小的正常數就是，即存在最小正常數，當時，對于任意正實數，不等式恒成立．