Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）判斷并說明函數的零點個數.若函數所有零點均在區間內，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）函數的單調增區間為，單調減區間為（2）存在兩個零點，詳見解析； 的最小值為3

【解析】

（1）求出導函數，由確定增區間，由確定減區間；

（2）求出導函數，分類討論的正負，確定的單調性，再根據零點存在定理確定零點存在的區間．首先確定上有一個零點，然后確定，，，上有否零點，從而可得的最小值．

解：（1）的定義域為，

，

令，得，（舍）.

當時，，當時，，

所以在上單調遞增，在上單調遞減，

因此，函數的單調增區間為，單調減區間為.

（2），

當時，，

因為單調遞減，

所以，在上單調遞增，

又，，

所以存在唯一，使得.

當，，，

所以單調遞減，

又，

所以，在上單調遞增.

因為，所以，故不存在零點.

當時，，，

所以單調遞減，

又，，

所以存在，使得.

當時，，單調遞增，

當時，，單調遞減.

又，，，

所以存在唯一，使得.

當時，，故不存在零點.

綜上，存在兩個零點，，且，，

因此的最小值為3.