Question

【題目】如圖，在直角中，，通過以直線為軸順時針旋轉得到（）.點為斜邊上一點.點為線段上一點，且.

（1）證明：平面；

（2）當直線與平面所成的角取最大值時，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先算出的長度，利用勾股定理證明，再由已知可得，利用線面垂直的判定定理即可證明；

（2）由（1）可得為直線與平面所成的角，要使其最大，則應最小，可得為中點，然后建系分別求出平面的法向量即可算得二面角的余弦值，進一步得到正弦值.

（1）在中，，由余弦定理得

，

∴，

∴，

由題意可知：∴，，，

∴平面，

平面，∴，

又，

∴平面.

（2）以為坐標原點，以，，的方向為，，軸的正方向，建立空間直角坐標系.

∵平面，∴在平面上的射影是，

∴與平面所成的角是，∴最大時，即，點為中點.

，，，，，

，，設平面的法向量，

由，得，令，得，

所以平面的法向量，

同理，設平面的法向量，由，得，

令，得，所以平面的法向量，

∴，，

故二面角的正弦值為.