Question

【題目】已知底面為邊長(zhǎng)為2的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)為1的直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，P是面A1B1C1D1上的動(dòng)點(diǎn)．給出以下四個(gè)結(jié)論中，正確的個(gè)數(shù)是（ ） ①與點(diǎn)D距離為 的點(diǎn)P形成一條曲線(xiàn)，則該曲線(xiàn)的長(zhǎng)度是 ；
②若DP∥面ACB1 ， 則DP與面ACC1A1所成角的正切值取值范圍是 ；
③若 ，則DP在該四棱柱六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之和的最大值為 ．
A.0
B.1
C.2
D.3

Answer 1

【答案】C
【解析】解：如圖，①正確，與點(diǎn)D距離為 的點(diǎn)P形成以D1為圓心，半徑為 的 圓弧MN，長(zhǎng)度為 = ； ②錯(cuò)誤，因?yàn)槊鍭1DC1∥面ACB1 ， 所以點(diǎn)P必須在面對(duì)角線(xiàn)A1C1上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P在A1（或C1）時(shí)，DP與面ACC1A1所成角∠DA1O（或∠DC1O）的正切值為 最小，當(dāng)P在O1時(shí)，DP與面ACC1A1所成角∠DO1O的正切值為 最大，所以正切值取值范圍是 ；
③正確，設(shè)P（x，y，1），則x2+y2+1=3，即x2+y2=2，DP在前后、左右、上下面上的正投影長(zhǎng)分別為 ，所以六個(gè)面上的正投影長(zhǎng)度之和為 ，當(dāng)且僅當(dāng)P在O1時(shí)取等號(hào)．
故選C．