Question

【題目】函數 ，則下列結論錯誤的是（ ）
A.f（x）是偶函數
B.方程f（f（x））=x的解為x=1
C.f（x）是周期函數
D.方程f（f（x））=f（x）的解為x=1

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵函數 ，

當x為有理數時，﹣x必為有理數，此時f（﹣x）=f（x）=1；當x為無理數時，﹣x必為無理數，此時f（﹣x）=f（x）=0．故Af（x）是偶函數正確；

若為有理數，則方程f（f（x））=f（1）=1，此時x=1；若為無理數，則方程f（f（x））=f（0）=1，此時無滿足條件的x；故B方程f（f（x））=x的解為x=1正確；

對于任意的有理數T，當x為有理數時，x+T必為有理數，此時f（x+T）=f（x）=1；當x為無理數時，x+T必為無理數，此時f（x+T）=f（x）=0；即函數是周期為任意非0有理數的周期函數，故Cf（x）是周期函數正確；

若為有理數，則方程f（f（x））=f（1）=1=f（x）恒成立；若為無理數，則方程f（f（x））=f（0）=1≠f（x），此時無滿足條件的x；故方程f（f（x））=f（x）的解為任意有理數，故D錯誤；

故答案選：D

【考點精析】關于本題考查的命題的真假判斷與應用和函數的零點，需要了解兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系；函數的零點就是方程的實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐標．即：方程有實數根，函數的圖象與坐標軸有交點，函數有零點才能得出正確答案．