Question

【題目】已知向量，向量，且函數.

(1)求函數的單調遞增區間及其對稱中心；

(2)在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且角A滿足.若，BC邊上的中線長為3，求的面積S.

(3)將函數的圖像向左平移個長度單位，向下平移個長度單位，再橫坐標不變，縱坐標縮短為原來的后得到函數的圖像，令函數在的最小值為，求正實數的值.

Answer 1

【答案】(1)單調遞增區間:，對稱中心;(2);(3)

【解析】

（1）根據平面向量數量積的定義,結合誘導公式及正余弦二倍角公式化簡即可得函數解析式.進而求得單調區間及對稱中心.

（2）將代入（1）中所得解析式,即可由求得.結合向量的加法與減法運算和BC邊上的中線長,即可求得.再根據三角形面積公式即可求解.

（3）根據函數的平移變換,即可求得的解析式.代入后表示出的解析式.轉化為關于的二次函數性質,通過對分類討論并結合最小值,即可求得的值.

（1）因為代入向量,向量,結合誘導公式及正余弦的二倍角公式化簡可得

所以

函數的單調遞增區間滿足

解得

所以函數的單調遞增區間為

令,解得

則對稱中心

（2）,得,

則,

∴

又①,

BC上的中線長為3,則②

由①②知:

即,所以

∴

（3）由題意將函數的圖像向左平移個長度單位可得

向下平移個長度單位,可得

再橫坐標不變,縱坐標縮短為原來的后得到函數,則

則,

所以,,

①當時,當時,有最小值,解得.

②當時,當時,有最小值,

(舍去),

綜上可得.