Question

【題目】如圖，某景區內有一半圓形花圃，其直徑為，是圓心，且.在上有一座觀賞亭，其中.計劃在上再建一座觀賞亭，記.

（1）當時，求的大小；

（2）當越大，游客在觀賞亭處的觀賞效果越佳，求游客在觀賞亭處的觀賞效果最佳時，角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

試題（1）先根據直角三角形解得，再根據正弦定理列關于三角方程，根據同角三角函數關系得，即得的大小；（2）根據正弦定理列關于的函數關系，利用導數求最值，即得結果.

試題解析：（1）設，由題，中，， ，

所以，在中，， ，

由正弦定理得，

即，所以 ，

則 ，所以，

因為為銳角，所以，所以，得；

（2）設，在中，， ，

由正弦定理得，即，

所以 ，

從而 ，其中，，

所以，

記，，；

令，，存在唯一使得，

當時，單調增，當時，單調減，

所以當時，最大，即最大，

又為銳角，從而最大，此時.

答：觀賞效果達到最佳時，的正弦值為.