Question

已知數列{a_n}、{b_n}中，對任何正整數n都有：

a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2.

（1）若數列{a_n}是首項和公差都是1的等差數列，求證：數列{b_n}是等比數列；

（2）若數列{b_n}是等比數列，數列{a_n}是否是等差數列，若是,請求出通項公式;若不是,請說明理由；

（3）若數列{a_n}是等差數列，數列{b_n}是等比數列，求證：＜.

Answer 1

解：(1)依題意數列{a_n}的通項公式是a_n=n，

故等式即為b_n+2b_n-1+3b_n-2+…+(n-1)b₂+nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2，

同時有b_n-1+2b_n-2+3b_n-3+…+(n-2)b₂+(n-1)b₁=2ⁿ-n-1(n≥2)，

兩式相減可得b_n+b_n-1+…+b₂+b₁=2ⁿ-1,

可得數列{b_n}的通項公式是b_n=2^n-1，

知數列{b_n}是首項為1，公比為2的等比數列.

(2)設等比數列{b_n}的首項為b，公比為q，則b_n=bq^n-1，從而有：

bq^n-1a₁+bq^n-2a₂+bq^n-3a₃+…+bqa_n-1+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2.

又bq^n-2a₁+bq^n-3a₂+bq^n-4a₃+…+ba_n-1=2ⁿ-n-1(n≥2)，

故(2ⁿ-n-1)q+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2,

a_n=×2ⁿ+×n+，

要使a_n+1-a_n是與n無關的常數，必須q=2，

即①當等比數列{b_n}的公比q=2時，數列{a_n}是等差數列，其通項公式是a_n=；

②當等比數列{b_n}的公比不是2時，數列{a_n}不是等差數列.

(3)證明:由(2)知a_nb_n=n·2ⁿ，

=+…+,

=+…+(n≥5)

=+++×

=+++×()^n-3

=×()^n-3＜×()^n-3＜.