Question

【題目】已知以為焦點的拋物線過點，直線與交于，兩點，為中點，且.

（1）當時，求點的坐標；

（2）當時，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）將代入拋物線方程，求得的值，根據向量的坐標運算，即可求得的值；

（2）方法一：根據向量的坐標運算，求得的縱坐標，利用拋物線的“點差法”求得直線的斜率，代入拋物線方程，利用韋達定理及向量的坐標運算，即可求得直線的方程；

方法二：設直線的方程，代入拋物線方程，利用韋達定理，中點坐標公式，及向量的坐標運算，即可求得直線的方程．

解：（1）將代入拋物線方程，得，

所以的方程為，焦點，

設，，當時，，可得．

（2）方法一：設，，，，，，

由．可得，，，所以，

所以直線的斜率存在且斜率，

設直線的方程為，聯立，消去，

整理得，

△，可得，

則，，，

所以，

解得，（舍，

所以直線的方程為．

方法二：設直線的方程為，

設，，，，，，

聯立方程組，消去，

整理得，△，

則，，

則，

則，，由．

得，，，所以，

所以直線的方程為，

由△，可得，

由，得，

所以，

解得或，（舍去）

所以直線的方程為．