Question

2012年4月15日，央視《每周質量報告》曝光某省一些廠商用生石灰處理皮革廢料，熬制成工業明膠，賣給一些藥用膠囊生產企業，由于皮革在工業加工時，要使用含鉻的鞣制劑，因此這樣制成的膠囊，往往重金屬鉻超標，嚴重危害服用者的身體健康．該事件報道后，某市藥監局立即成立調查組，要求所有的藥用膠囊在進入市場前必須進行兩輪檢測，只有兩輪都合格才能進行銷售，否則不能銷售，兩輪檢測是否合格相互沒有影響．
（1）某藥用膠囊共生產3個不同批次，經檢測發現有2個批次為合格，另1個批次為不合格，現隨機抽取該藥用膠囊5件，求恰有2件不能銷售的概率；
（2）若對某藥用膠囊的3個不同批次分別進行兩輪檢測，藥品合格的概率如下表：

	第1批次	第2批次	第3批次
第一輪檢測	3 5	5 6	1 2
第二輪檢測	2 3	4 5	2 3

記該藥用膠囊能通過檢測進行銷售的批次數為X，求X的分布列及數學期望EX．

Answer 1

分析：（1）依題意知隨機抽取一件該藥品為合格的概率為

2

3

，不合格的概率為

1

3

，由此能求出5件藥用膠囊恰有2件不能銷售的概率．
（2）記該藥用膠囊的3個批次分別進行兩輪檢測為合格記為事件A₁，A₂，A₃，分別求出P（A₁），P（A₂），P（A₃），該藥用膠囊能檢測進行銷售的批次為X的可能取值為0，1，2，3，再分別求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出隨機變量X的分布列與EX．

解答：解：（1）依題意知隨機抽取一件該藥品為合格的概率為

2

3

，
不合格的概率為

1

3

，
則記5件藥用膠囊恰有2件不能銷售的概率為事件A，則P（A）=

C

2 5

(

1

3

)2(

2

3

)3=

80

243

．
（2）記該藥用膠囊的3個批次分別進行兩輪檢測為合格記為事件A₁，A₂，A₃，
P（A₁）=

3

5

×

2

3

=

2

5

，
P（A₂）=

5

6

×

4

5

=

2

3

，
P（A₃）=

1

2

×

2

3

=

1

3

，
該藥用膠囊能檢測進行銷售的批次為X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=P（

.

A1

.

A2

.

A3

）=（1-

2

5

）（1-

2

3

）（1-

1

3

）=

2

15

，
P（X=1）=P（A1

.

A2

.

A3

）=

2

5

×

2

3

×(1-

1

3

)+（1-

2

5

）×

2

3

×(1-

1

3

)+（1-

2

5

）（1-

2

3

）×

1

3

=

19

45

，
P（X=2）=P（A1

.

A2

.

A2

+

.

A1

A1

.

A3

+A1

.

A2

A3）
=

2

5

×

2

3

×(1-

1

3

)+(1-

2

5

)×

2

3

×

1

3

+

2

5

×(1-

2

3

)×

1

3

=

16

45

，
P（X=3）=P（A₁A₂A₃）=

2

5

×

2

3

×

1

3

=

4

45

，
則隨機變量X的分布列為

X	0	1	2	3
P	2 15	19 45	16 45	4 45

∴EX=0×

2

15

+1×

19

45

+2×

16

45

+3×

4

45

=

7

5

．

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．