Question

2012年3月2日，國家環保部發布了新修訂的《環境空氣質量標準》．其中規定：居民區中的PM2.5年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時平均濃度不得超過75微克/立方米．某城市環保部門隨機抽取了一居民區去年40天的PM2.5的24小時平均濃度的監測數據，數據統計如下：

組別	PM2.5（微克/立方米）	頻數（天）	頻　率
第一組	（0，15]	4	0.1
第二組	（15，30]	12	y
第三組	（30，45]	8	0.2
第四組	（45，60]	8	0.2
第五組	（60，75]	x	0.1
第六組	（75，90）[	4	0.1

（Ⅰ）試確定x，y的值，并寫出該樣本的眾數和中位數（不必寫出計算過程）；
（Ⅱ）畫出相應的頻率分布直方圖．
（Ⅲ）求出樣本的平均數，并根據樣本估計總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區的環境是否需要改進？說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據頻率=

頻數

樣本容量

，可求出x，y，進而根據眾數為頻率最大的組中值，中位數將頻率分布直方圖中矩形面積平分，求出眾數和中位數．
（Ⅱ）根據已知中的頻率分布直方表，計算出每組對應的矩形的高，可得相應的頻率分布直方圖
（III）先求出去年該居民區PM2.5年平均濃度為40.5（微克/立方米）．因為40.5＞35，所以該居民區的環境需要改進．

解答：解：（Ⅰ）∵頻率=

頻數

樣本容量

，
∴x=0.1×40=4，
y=

12

40

=0.3．
眾數為22.5微克/立方米，中位數為37.5微克/立方米．…（4分）
（Ⅱ）其頻率分布直方圖如圖所示：
…（8分）
（III）去年該居民區PM2.5年平均濃度為7.5×0.1+22.5×0.3+37.5×0.2+52.5×0.2+67.5×0.1+82.5×0.1=40.5（微克/立方米）．…（10分）
因為40.5＞35，所以去年該居民區PM2.5年平均濃度不符合環境空氣質量標準，
故該居民區的環境需要改進．…（12分）

點評：本小題主要考查頻率分布直方表、頻率分布直方圖，考查數據處理能力、運算求解能力以及應用用意識，考查必然與或然思想等．