Question

【題目】如圖，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF=∠CEF=90°，AD= ．
（Ⅰ）求證：AE∥平面DCF；
（Ⅱ）當AB的長為何值時，二面角A﹣EF﹣C的大小為60°？

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）過點E作EG⊥CF交CF于G，連接DG，

可得四邊形BCGE為矩形．又ABCD為矩形，
所以AD⊥∥EG，從而四邊形ADGE為平行四邊形，故AE∥DG．
因為AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF．
（Ⅱ）解：過點B作BH⊥EF交FE的延長線于H，連接AH．

由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得
AB⊥平面BEFC，
從而AH⊥EF，
所以∠AHB為二面角A﹣EF﹣C的平面角．
在Rt△EFG中，因為EG=AD= ．
又因為CE⊥EF，所以CF=4，
從而BE=CG=3．
于是BH=BEsin∠BEH= ．
因為AB=BHtan∠AHB，
所以當AB= 時，二面角A﹣EF﹣G的大小為60°
【解析】（Ⅰ）過點E作EG⊥CF并CF于G，連接DG，證明AE平行平面DCF內的直線DG，即可證明AE∥平面DCF；
（Ⅱ）過點B作BH⊥EF交FE的延長線于H，連接AH，說明∠AHB為二面角A﹣EF﹣C的平面角，通過二面角A﹣EF﹣C的大小為60°，求出AB即可．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用直線與平面平行的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．